Article 02

Mathématique, 2e secondaire

Les racines carrées et les carrés parfaits

La racine carrée retrouve le côté d'un carré à partir de son aire. Quand le nombre n'est pas un carré parfait, je situe sa racine entre deux nombres naturels.

Capsule théorique

Tu veux une nappe carrée de 50 dm². Quelle doit être la longueur de son côté ? Avec 7 dm, la nappe est un peu trop petite. Avec 8 dm, elle est trop grande.

Le vocabulaire

Mot	Sens et exemple
carré d'un nombre	Le nombre multiplié par lui-même. C'est l'exposant 2. Exemple : 7² = 7 × 7 = 49
carré parfait	Le carré d'un nombre naturel. Exemple : 1, 4, 9, 16, 25, …, 225
racine carrée (√)	Le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre sous le symbole √. Exemple : $\sqrt{49}$ = 7, car 7 × 7 = 49.
aire d'un carré	Côté × côté. Elle se mesure en unités carrées, comme le m². Exemple : un côté de 7 m donne 49 m².
nombres naturels consécutifs	Deux nombres naturels qui se suivent. Exemple : 7 et 8
situer une racine	Trouver les deux nombres naturels consécutifs qui l'entourent. Exemple : $\sqrt{50}$ est entre 7 et 8.
≈	Se lit « est environ égal à ». Exemple : $\sqrt{50}$ ≈ 7,07

La règle

Figure 1.

Règle

La racine carrée fait le chemin inverse du carré. Elle retrouve le côté d'un carré à partir de son aire. Elle est toujours positive.

Je cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre sous le symbole √. Puis je vérifie.

Exemple : un carré a une aire de 196 cm².

14 × 14 = 196, donc $\sqrt{196}$ = 14. Le côté mesure 14 cm.

Les carrés parfaits jusqu'à 225 sont à connaître par cœur. Ils servent à trouver et à situer les racines carrées.

Figure 2.

Attention : la racine carrée n'est pas la moitié. $\sqrt{64}$ ne vaut pas 32.

$\sqrt{64}$ = 8, car 8 × 8 = 64.

Notion 1 : la racine carrée d'une fraction ou d'un nombre décimal

Figure 3.

Règle

Si le numérateur et le dénominateur sont des carrés parfaits, je prends la racine carrée de chacun. Pour un nombre décimal, la racine a deux fois moins de décimales.

Je cherche d'abord la racine sans la virgule. Puis je place la virgule. Je vérifie en multipliant le résultat par lui-même.

Exemple 1 : la racine carrée de 9 sur 16.

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

Je vérifie : 3 × 3 = 9 et 4 × 4 = 16.

Exemple 2 : 0,25 a 2 décimales. Sa racine a 1 décimale. Je pense à $\sqrt{25}$ = 5.

$\sqrt{0,25}$ = 0,5, car 0,5 × 0,5 = 0,25.

Exemple 3 : 1,44 a 2 décimales. Je pense à $\sqrt{144}$ = 12.

$\sqrt{1,44}$ = 1,2, car 1,2 × 1,2 = 1,44.

Attention : $\sqrt{0,25}$ ne vaut pas 0,05. Je vérifie : 0,05 × 0,05 = 0,0025, et non 0,25.

Figure 4.

Notion 2 : situer une racine qui n'est pas un carré parfait

Figure 5.

Règle

Je cherche les deux carrés parfaits qui entourent le nombre. Sa racine carrée est entre leurs racines, deux nombres naturels consécutifs.

1. Je cherche le carré parfait juste en dessous du nombre, et celui juste au-dessus.

2. Je prends leurs racines carrées.

3. Je regarde de quel carré parfait le nombre est le plus près.

Exemple : je situe $\sqrt{50}$ .

49 < 50 < 64

$\sqrt{49}$ = 7 et $\sqrt{64}$ = 8. Donc 7 < $\sqrt{50}$ < 8.

50 est à 1 de 49, mais à 14 de 64. $\sqrt{50}$ est donc plus près de 7.

La calculatrice sert seulement à vérifier, à la fin. Elle donne $\sqrt{50}$ ≈ 7,07.

Attention : 49 et 64 sont des carrés. La racine n'est pas entre 49 et 64, mais entre leurs racines, 7 et 8.

Situation 1 : la cour d'école

L'école réaménage sa cour. Le carré de sable aura une aire de 2,25 m². La patinoire carrée aura une aire de 300 m².

a) Quelle sera la longueur d'un côté du carré de sable ?

b) Entre quels nombres naturels consécutifs se trouve la longueur d'un côté de la patinoire ? De quel nombre est-elle le plus près ?

c) Laurie dit : « 72 m de bandes suffisent pour faire le tour de la patinoire. » A-t-elle raison ? Explique sans calculatrice.

Figure 6.

La démarche pour résoudre la situation 1

Une bonne solution suit 5 étapes. Sous chaque étape : ce que tu dois montrer.

Comprendre

« Carré » veut dire : 4 côtés égaux, et l'aire est côté × côté.

« Entre quels nombres naturels consécutifs » veut dire : je situe une racine carrée.

« Faire le tour » veut dire : additionner les 4 côtés.

Je cherche :

a) Je cherche le côté du carré de sable.

b) Je cherche les deux nombres naturels qui entourent le côté de la patinoire.

c) Je cherche si 72 m de bandes suffisent pour le tour de la patinoire.

Je sais :

Le carré de sable a une aire de 2,25 m². La patinoire a une aire de 300 m².

Je montre que je comprends la situation.
Planifier

a) Le côté est la racine carrée de l'aire. C'est la racine d'un nombre décimal (notion 1).

b) 300 n'est pas un carré parfait. Je situe $\sqrt{300}$ entre deux nombres naturels (notion 2).

c) Je compare le tour de la patinoire avec 4 fois le plus grand des deux nombres trouvés en b).

Je choisis les bonnes notions.
Réaliser

Figure 7.

a) Je pense à $\sqrt{225}$ = 15. 2,25 a 2 décimales, donc la racine en a 1.

$\sqrt{2,25}$ = 1,5

b) Je cherche les carrés parfaits qui entourent 300.

289 < 300 < 324

$\sqrt{289}$ = 17 et $\sqrt{324}$ = 18. Donc 17 < $\sqrt{300}$ < 18.

300 est à 11 de 289, mais à 24 de 324. Le côté est plus près de 17 m.

c) Le côté est plus petit que 18 m. Je calcule le tour avec 18 m.

4 × 18 = 72

Le vrai tour est donc plus petit que 72 m.

Je fais une solution complète, étape par étape.
Valider

a) Je multiplie le côté par lui-même : 1,5 × 1,5 = 2,25. Je retrouve l'aire.

b) Je vérifie avec la calculatrice : $\sqrt{300}$ ≈ 17,32. C'est bien entre 17 et 18, plus près de 17.

c) 4 × 17,32 ≈ 69,3. Le tour mesure environ 69,3 m, moins que 72 m.

Je vérifie mes réponses.
Communiquer

Réponse : le côté du carré de sable mesure 1,5 m.

Le côté de la patinoire est entre 17 m et 18 m, plus près de 17 m.

Laurie a raison : le tour de la patinoire mesure moins de 4 × 18 = 72 m.

J'écris une réponse claire, avec les bons mots.

Situation 2 : la murale de l'école

AutonomeExercice 1 : La murale de l'école

Figure 8.

Le club d'art peint une murale carrée sur un mur de l'école. L'aire de la murale est de 40 m². Le mur mesure 6,5 m de large.

Au centre de la murale, un carré doré a une aire de $\frac{9}{16}$ m².

a) Entre quels nombres naturels consécutifs se trouve la longueur d'un côté de la murale ? De quel nombre est-elle le plus près ?

b) Quelle est la longueur d'un côté du carré doré ?

c) La murale entre-t-elle sur la largeur du mur ? Explique sans calculatrice.

Suis les 5 étapes de la démarche.

Indice

c) Calcule l'aire d'un carré de 6,5 m de côté. Compare-la avec l'aire de la murale.

Les 5 étapes sont écrites. Chaque réponse est justifiée, et la calculatrice sert seulement à vérifier.

Corrigé, étape par étape

Étape 1 : Comprendre

« Entrer sur la largeur du mur » veut dire : le côté de la murale est plus petit que 6,5 m.

Je cherche :

a) Je cherche les deux nombres naturels qui entourent le côté de la murale.

b) Je cherche le côté du carré doré.

c) Je cherche si le côté de la murale est plus petit que 6,5 m.

Je sais :

La murale a une aire de 40 m². Le mur mesure 6,5 m de large.

Le carré doré a une aire de $\frac{9}{16}$ m².

Étape 2 : Planifier

a) 40 n'est pas un carré parfait. Je situe $\sqrt{40}$ (notion 2).

b) 9 et 16 sont des carrés parfaits. Je prends la racine de chacun (notion 1).

c) Je compare 40 m² avec l'aire d'un carré de 6,5 m de côté.

Étape 3 : Réaliser

Figure 9.

a) Je cherche les carrés parfaits qui entourent 40.

36 < 40 < 49

$\sqrt{36}$ = 6 et $\sqrt{49}$ = 7. Donc 6 < $\sqrt{40}$ < 7.

40 est à 4 de 36, mais à 9 de 49. Le côté est plus près de 6 m.

b) Je prends la racine du numérateur et celle du dénominateur.

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

c) Je calcule l'aire d'un carré de 6,5 m de côté.

6,5 × 6,5 = 42,25

40 < 42,25. L'aire de la murale est plus petite. Son côté est donc plus petit que 6,5 m.

Étape 4 : Valider

a) Je vérifie avec la calculatrice : $\sqrt{40}$ ≈ 6,32. C'est bien entre 6 et 7, plus près de 6.

b) Je multiplie le côté par lui-même. Je dois retrouver l'aire.

$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

c) 6,32 est plus petit que 6,5. Il reste environ 0,18 m de mur.

Étape 5 : Communiquer

Réponse : le côté de la murale est entre 6 m et 7 m, plus près de 6 m.

Le côté du carré doré mesure $\frac{3}{4}$ m.

La murale entre sur le mur, car 6,5 × 6,5 = 42,25 est plus grand que 40.

À retenir

Notion	Ce que je retiens
Racine carrée	Le chemin inverse du carré. Elle donne le côté d'un carré. Exemple : $\sqrt{49}$ = 7, car 7 × 7 = 49.
Carrés parfaits	Les carrés des nombres naturels. Je les connais par cœur jusqu'à 225. Exemple : 144, 169, 196, 225
Piège	La racine carrée n'est pas la moitié. Exemple : $\sqrt{64}$ = 8, et non 32.
Racine d'une fraction	La racine du numérateur et celle du dénominateur. Exemple : la racine carrée de 9 sur 16 vaut $\frac{3}{4}$ .
Racine d'un nombre décimal	La racine a deux fois moins de décimales. Exemple : $\sqrt{1,44}$ = 1,2
Situer une racine	Entre les racines des deux carrés parfaits qui entourent le nombre. Exemple : 49 < 50 < 64, donc 7 < $\sqrt{50}$ < 8.
Calculatrice	Elle sert seulement à vérifier, à la fin. Exemple : $\sqrt{50}$ ≈ 7,07