Article 02

Mathématique, 2e secondaire

Les puissances : aller plus loin

La base d'une puissance peut être une fraction, un nombre décimal ou un nombre négatif. L'exposant peut même être négatif.

Capsule théorique

Plie une feuille en deux, trois fois de suite. Tu obtiens 2³ = 8 épaisseurs de papier. Déplie-la : chaque rectangle est $\frac{1}{8}$ de la feuille.

Le vocabulaire

Mot	Sens et exemple
base	Le facteur qui se répète. Elle est juste avant l'exposant. Exemple : 5 dans 5³
exposant	Le nombre de fois que la base est un facteur. C'est le petit nombre en haut. Exemple : 3 dans 5³
puissance	Le résultat du calcul. Exemple : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
exposants 1 et 0	Avec l'exposant 1, la puissance est la base. Avec l'exposant 0, elle vaut 1. Exemple : 7¹ = 7 et 7⁰ = 1
puissance de 10	Une puissance dont la base est 10. Exemple : 10⁴ = 10 000
exposant négatif	Un exposant plus petit que 0, comme −1 ou −2. Avec une base positive, la puissance reste positive. Exemple : 10⁻¹ = 0,1
priorité des opérations	L'ordre des calculs : les parenthèses, puis les puissances, puis × et ÷, puis + et −. Exemple : dans 2 + 3², je calcule 3² d'abord.

La règle

Figure 1.

Règle

L'exposant touche seulement ce qui est juste avant lui : un nombre, ou ce qui est entre parenthèses. Je calcule les puissances avant ×, ÷, + et −.

Je repère d'abord la base. Puis j'écris la base comme facteur, autant de fois que le dit l'exposant.

Exemple 1 : la base est −3, car −3 est entre parenthèses.

(−3)² = (−3) × (−3) = 9

Exemple 2 : sans parenthèses, la base est 3. Le signe − reste devant.

−3² = −(3 × 3) = −9

Exemple 3 : une chaîne d'opérations. Je calcule la puissance en premier, puis la multiplication, puis l'addition.

2 + 3 × 4² = 2 + 3 × 16 = 2 + 48 = 50

Attention : je ne calcule pas 3 × 4 en premier. L'exposant 2 touche seulement le 4.

Figure 2.

Notion 1 : une fraction ou un nombre décimal comme base

Figure 3.

Règle

Pour une fraction, je calcule la puissance du numérateur et celle du dénominateur. Pour un nombre entre 0 et 1, la puissance est plus petite que le nombre.

J'écris la fraction entre parenthèses. Puis j'écris les facteurs et je multiplie.

Exemple 1 : le carré de deux tiers.

${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$

Exemple 2 : des nombres décimaux.

0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25

0,1³ = 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,001

Pour placer la virgule, je compte les décimales des facteurs. 0,1 a 1 décimale. Trois facteurs donnent 3 décimales.

Attention : 0,5² ne vaut pas 1. Je ne multiplie jamais la base par l'exposant.

Attention : je calcule aussi la puissance du dénominateur. Le carré de deux tiers n'est pas quatre tiers.

Figure 4.

Notion 2 : les puissances de 10 et l'exposant négatif

Figure 5.

Règle

Quand l'exposant baisse de 1, je divise par la base. Un exposant négatif donne donc 1 divisé par une puissance de la base.

Avec la base 10, un exposant positif compte les zéros. 10³ = 1 000 a 3 zéros.

Sous l'exposant 0, je continue la régularité. Je divise encore par 10.

Exemple 1 : les puissances de 10, de 10¹ à 10⁻².

10¹ = 10

10⁰ = 10 ÷ 10 = 1

10⁻¹ = 1 ÷ 10 = $\frac{1}{10}$ = 0,1

10⁻² = 0,1 ÷ 10 = $\frac{1}{100}$ = 0,01

Exemple 2 : la base 2. L'exposant −3 veut dire : je pars de 1 et je divise 3 fois par 2.

2⁻³ = 1 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = $\frac{1}{8}$

Exemple 3 : la base 5. Je divise 1 par la puissance positive, 5².

5⁻² = 1 ÷ 5² = 1 ÷ 25 = $\frac{1}{25}$

Attention : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif. 10⁻² vaut 0,01, et non −100.

Figure 6.

Situation 1 : la feuille pliée

Noah plie une feuille de papier en deux. Puis il la plie encore en deux, et ainsi de suite. Il fait 5 plis en tout.

La feuille a une épaisseur de 0,1 mm.

a) Combien d'épaisseurs de papier y a-t-il après les 5 plis ? Écris le calcul avec une puissance.

b) Quelle est l'épaisseur de la feuille pliée, en millimètres ?

c) Noah déplie la feuille. Les plis forment des rectangles égaux. Quelle fraction de la feuille est un rectangle ? Écris-la aussi avec une puissance de 2.

Figure 7.

La démarche pour résoudre la situation 1

Une bonne solution suit 5 étapes. Sous chaque étape : ce que tu dois montrer.

Comprendre

« Plier en deux » veut dire : le nombre d'épaisseurs est multiplié par 2.

« L'épaisseur de la feuille pliée » veut dire : la hauteur de la pile de papier.

Je cherche :

a) Je cherche le nombre d'épaisseurs après 5 plis.

b) Je cherche l'épaisseur de la pile, en millimètres.

c) Je cherche la fraction de la feuille que forme un rectangle.

Je sais :

Noah fait 5 plis. Chaque pli double le nombre d'épaisseurs.

Une épaisseur de papier mesure 0,1 mm.

Je montre que je comprends la situation.
Planifier

a) Je multiplie 5 fois par 2. J'écris ce produit avec une puissance de base 2.

b) Je multiplie l'épaisseur d'une feuille par le nombre d'épaisseurs. Je calcule la puissance avant la multiplication.

c) Chaque épaisseur de la pile est un rectangle de la feuille dépliée. Je compte les rectangles, puis j'utilise l'exposant négatif.

Je choisis les bonnes notions.
Réaliser

Figure 8.

a) 5 plis, c'est 5 facteurs égaux à 2.

2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

b) Je calcule la puissance, puis la multiplication.

0,1 × 2⁵ = 0,1 × 32 = 3,2

c) Il y a 32 rectangles égaux. Un rectangle est $\frac{1}{32}$ de la feuille.

2⁻⁵ = 1 ÷ 2⁵ = 1 ÷ 32 = $\frac{1}{32}$

Je fais une solution complète, étape par étape.
Valider

a) Je double à chaque pli : 2, 4, 8, 16, puis 32. Je retrouve 32.

b) J'estime : 30 épaisseurs de 0,1 mm font 3 mm. Le résultat 3,2 mm est proche de 3 mm.

c) Les 32 rectangles forment la feuille entière.

32 × $\frac{1}{32}$ = 1

Je vérifie mes réponses.
Communiquer

Réponse : après 5 plis, il y a 2⁵ = 32 épaisseurs de papier.

La feuille pliée a une épaisseur de 3,2 mm.

Un rectangle est $\frac{1}{32}$ de la feuille.

Avec une puissance de 2, c'est 2⁻⁵ de la feuille.

J'écris une réponse claire, avec les bons mots.

Situation 2 : la balle qui rebondit

AutonomeExercice 1 : La balle qui rebondit

Figure 9.

Maya lâche une balle d'une hauteur de 4 m.

À chaque rebond, la balle remonte à la moitié de sa hauteur précédente.

a) Quelle hauteur la balle atteint-elle après le 3^e rebond ? Écris le calcul avec une puissance.

b) Après quel rebond la balle remonte-t-elle à 0,25 m ?

c) Léo calcule d'abord 4 fois un demi. Puis il calcule ce résultat exposant 3. Il trouve 8 m. Explique son erreur.

Suis les 5 étapes de la démarche.

Indice

« La moitié » veut dire : multiplier par un demi. Après 3 rebonds, la hauteur de départ est multipliée 3 fois par un demi.

Les 5 étapes sont écrites. Les calculs respectent la priorité des opérations, et chaque hauteur a son unité.

Corrigé, étape par étape

Étape 1 : Comprendre

« La moitié de sa hauteur » veut dire : à chaque rebond, la hauteur est multipliée par un demi.

Je cherche :

a) Je cherche la hauteur de la balle après le 3^e rebond.

b) Je cherche le numéro du rebond où la balle remonte à 0,25 m.

c) Je cherche l'erreur dans le calcul de Léo.

Je sais :

La balle part de 4 m. À chaque rebond, sa hauteur est divisée par 2.

Étape 2 : Planifier

a) 3 rebonds, c'est 3 facteurs égaux à un demi. J'écris une puissance de fraction (notion 1). Puis je multiplie par 4.

b) Je divise par 2, rebond par rebond, jusqu'à 0,25 m.

c) Je compare l'ordre des calculs de Léo avec la règle : les puissances avant la multiplication.

Étape 3 : Réaliser

Figure 10.

a) Je calcule la puissance, puis la multiplication.

$4 \times {(\frac{1}{2})}^{3} = 4 \times \frac{1}{8} = 0,5$

Je peux aussi écrire $\frac{1}{8}$ = 2⁻³.

b) Je continue de diviser par 2.

4 → 2 → 1 → 0,5 → 0,25

Il faut 4 divisions par 2. C'est le 4^e rebond.

$4 \times {(\frac{1}{2})}^{4} = 4 \times \frac{1}{16} = 0,25$

c) Léo calcule 4 fois un demi en premier, puis il met l'exposant.

${(4 \times \frac{1}{2})}^{3} = 2^{3} = 8$

Mais l'exposant 3 touche seulement un demi, pas le 4. La puissance se calcule avant la multiplication.

Étape 4 : Valider

a) Rebond par rebond : 4 ÷ 2 = 2, puis 2 ÷ 2 = 1, puis 1 ÷ 2 = 0,5. Je retrouve 0,5 m.

b) Je fais le chemin inverse. Je multiplie 0,25 par 2, quatre fois.

0,25 × 2 × 2 × 2 × 2 = 4

c) La réponse de Léo n'a pas de sens. Une balle ne remonte pas plus haut que sa hauteur de départ. 8 m est plus que 4 m.

Étape 5 : Communiquer

Réponse : après le 3^e rebond, la balle remonte à 0,5 m.

Elle remonte à 0,25 m après le 4^e rebond.

Léo a aussi mis le 4 à l'exposant 3. Or l'exposant touche seulement un demi. Il faut calculer la puissance avant la multiplication.

À retenir

Notion	Ce que je retiens
La base	L'exposant touche seulement ce qui est juste avant lui. Exemple : (−3)² = 9, mais −3² = −9
Priorité des opérations	Je calcule les puissances avant ×, ÷, + et −. Exemple : 2 + 3 × 4² = 50
Une fraction comme base	Je calcule la puissance du numérateur et du dénominateur. Exemple : le carré de deux tiers vaut $\frac{4}{9}$ .
Une base entre 0 et 1	La puissance est plus petite que la base. Exemple : 0,5² = 0,25
Puissance de 10	Un exposant positif compte les zéros. Exemple : 10³ = 1 000
Exposant négatif	Je divise 1 par la puissance positive. Le résultat reste positif. Exemple : 10⁻² = 0,01
Bases 2 et 5	Même idée : 1 divisé par la puissance positive. Exemple : 2⁻³ = $\frac{1}{8}$